Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler: a² + b² = c². Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir üçgende 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² olduğu için hipotenüs 5 cm’dir.
Pisagor bağıntısı 8. sınıfta Üçgenler konusunda işleniyor. MEB’in 2018 Matematik Öğretim Programı’na göre bu kazanımda gerçek hayat problemleri, koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık ve bir üçgenin dik olup olmadığına karar verme de yer alıyor. Aşağıda hepsini çözümlü örneklerle bulabilirsiniz.
Pisagor teoremi nedir?
Bir dik üçgende:
- 90°‘lik açıyı oluşturan iki kenara dik kenar denir (a ve b).
- 90°‘lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir (c). Hipotenüs her zaman üçgenin en uzun kenarıdır.
Teorem bu üç kenar arasındaki ilişkiyi verir: a² + b² = c²
Formüldeki “kare” gerçek bir kareyi anlatır: Dik kenarların üzerine çizilen iki karenin alanları toplamı, hipotenüsün üzerine çizilen karenin alanına eşittir. Kenarları 3, 4 ve 5 birim olan üçgende bu alanlar 9, 16 ve 25 birimkaredir: 9 + 16 = 25.
Teorem yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir. 90°‘lik açısı olmayan bir üçgende bu eşitlik sağlanmaz.
Pisagor formülü: hipotenüs ve dik kenar nasıl bulunur?
| Aranan | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Hipotenüs | c = √(a² + b²) | a = 6, b = 8 → c = √100 = 10 |
| Dik kenar | a = √(c² − b²) | c = 13, b = 5 → a = √144 = 12 |
Örnek 1: Hipotenüsü bulma. Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm’dir?
- Dik kenarların karelerini alın: 9² = 81, 12² = 144.
- Toplayın: 81 + 144 = 225.
- Karekökünü alın: √225 = 15 cm.
Örnek 2: Dik kenarı bulma. Hipotenüsü 26 cm, bir dik kenarı 10 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç cm’dir?
- Hipotenüsün karesi 26² = 676, bilinen dik kenarın karesi 10² = 100.
- Çıkarın: 676 − 100 = 576.
- Karekökünü alın: √576 = 24 cm.
Hipotenüs verildiyse kareler çıkarılır; bulunan dik kenar her zaman hipotenüsten kısa olmalıdır.
Pisagor üçlüleri (özel üçgenler) tablosu
Üç kenarının uzunluğu da doğal sayı olan dik üçgenlerin kenarlarına Pisagor üçlüsü denir; bazı kaynaklarda bu üçgenler “özel üçgenler” olarak da geçer. Bir üçlünün bütün katları da Pisagor üçlüsüdür: Kenarlar k ile çarpılınca kareler k² ile çarpılır ve eşitlik bozulmaz.
| Temel üçlü | 2 katı | 3 katı | 4 katı |
|---|---|---|---|
| 3-4-5 | 6-8-10 | 9-12-15 | 12-16-20 |
| 5-12-13 | 10-24-26 | 15-36-39 | 20-48-52 |
| 8-15-17 | 16-30-34 | 24-45-51 | 32-60-68 |
| 7-24-25 | 14-48-50 | 21-72-75 | 28-96-100 |
Bu dört üçlüyü tanımak sınavda zaman kazandırır. 20-21-29 ve 9-40-41 de daha az bilinen Pisagor üçlüleridir.
Örnek 3: Üçlüyü tanıma. Dik kenarları 20 cm ve 48 cm olan üçgenin hipotenüsü kaç cm’dir?
20 = 4 · 5 ve 48 = 4 · 12 olduğu için kenarlar 5-12-13 üçlüsünün 4 katıdır. Hipotenüs 4 · 13 = 52 cm. Kontrol: 20² + 48² = 400 + 2304 = 2704 = 52².
Karekök çıkan Pisagor soruları
Kenarlar her zaman bir üçlüye uymaz. O zaman sonuç kareköklü bir ifade olur ve a√b biçiminde sadeleştirilir.
Örnek 4. Dik kenarları 4 cm ve 6 cm olan üçgenin hipotenüsü kaç cm’dir? Hangi iki doğal sayı arasındadır?
- 4² + 6² = 16 + 36 = 52 → c = √52.
- 52 = 4 · 13 olduğu için √52 = 2√13 cm.
- 7² = 49 < 52 < 64 = 8² → 7 < √52 < 8. 52, 49’a daha yakın olduğu için hipotenüs 7’ye yakındır (≈ 7,21 cm).
Sık karşılaşılan iki özel durum:
- Karenin köşegeni: Kenarı a olan karenin köşegeni, dik kenarları a ve a olan üçgenin hipotenüsüdür: √(a² + a²) = a√2. Kenarı 5 cm olan karenin köşegeni 5√2 ≈ 7,07 cm.
- Eşkenar üçgenin yüksekliği: Yükseklik tabanı iki eş parçaya böler. Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgende yükseklik √(6² − 3²) = √27 = 3√3 ≈ 5,20 cm.
Karekök sorularında 1’den 20’ye kadar tam kareleri bilmek işi çok hızlandırır; tablo için tam kare sayılar yazısına, sadeleştirme adımları için karekök hesaplama aracına bakabilirsiniz.
Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık
Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık için 8. sınıfta ayrı bir formül verilmez; uzaklık Pisagor bağıntısıyla bulunur. İki noktayı birleştiren doğru parçası, yatay ve dikey farkların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür.
Örnek 5. A(−2, 1) ve B(4, 9) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
- Yatay fark: 4 − (−2) = 6 birim. Dikey fark: 9 − 1 = 8 birim.
- Bu farklar dik kenarlardır: 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- |AB| = √100 = 10 birim (6-8-10, yani 3-4-5 üçlüsünün 2 katı).
Gerçek hayatta Pisagor teoremi: merdiven ve TV ekranı
Merdiven problemi. 5 m uzunluğundaki bir merdiven duvara dayanmıştır. Merdivenin alt ucu duvardan 1,4 m uzaktadır. Merdivenin üst ucu yerden kaç metre yüksektedir?
- Duvar yere dik olduğu için merdiven (5 m) hipotenüs; yerdeki mesafe (1,4 m) ve yükseklik (h) dik kenarlardır.
- h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04.
- 48² = 2304 olduğu için h = √23,04 = 4,8 m.
TV ekranı problemi. Televizyonların “inç” ile verilen boyutu ekranın köşegen uzunluğudur (1 inç = 2,54 cm). Eni 80 cm, boyu 45 cm olan bir ekran yaklaşık kaç inçtir?
- Köşegen² = 80² + 45² = 6400 + 2025 = 8425.
- 91² = 8281 < 8425 < 8464 = 92² olduğu için köşegen 91 cm ile 92 cm arasında, 92’ye daha yakın (≈ 91,8 cm).
- 91,8 ÷ 2,54 ≈ 36,1 → ekran yaklaşık 36 inç.
Aynı yöntemle bir bahçeyi çapraz kesen yolun uzunluğu ya da bir rampanın boyu da hesaplanır.
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlama
Pisagor teoreminin karşıtı da doğrudur: Bir üçgende en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen dik üçgendir ve dik açı en uzun kenarın karşısındadır.
| Kenarlar | Kısa kenarların kareleri toplamı | En uzun kenarın karesi | Dik üçgen mi? |
|---|---|---|---|
| 9, 12, 15 | 81 + 144 = 225 | 15² = 225 | Evet |
| 20, 21, 29 | 400 + 441 = 841 | 29² = 841 | Evet |
| 5, 6, 8 | 25 + 36 = 61 | 8² = 64 | Hayır |
| 6, 8, 11 | 36 + 64 = 100 | 11² = 121 | Hayır |
Karşılaştırmayı her zaman en uzun kenarın karesiyle yapın; bir dik üçgende hipotenüs olabilecek tek kenar odur.
Pisagor teoreminin görsel ispatı
Teoremin yüzlerce farklı ispatı var. En kolay anlaşılanlardan biri alanlarla yapılır:
- Kenarı (a + b) olan büyük bir kare çizin.
- İçine dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan dört eş dik üçgeni dik açıları büyük karenin köşelerine gelecek şekilde yerleştirin. Ortada kenarı c olan eğik bir kare kalır.
- Büyük karenin alanını iki yoldan yazın: (a + b)² = 4 · (a · b ÷ 2) + c².
- Sol taraf a² + 2ab + b², sağ taraf 2ab + c². İki taraftan 2ab çıkarılınca a² + b² = c² kalır.
Aynı hesabı kareli kâğıtta sayılarla da görebilirsiniz: Dik kenarları 3 ve 4 birim olan dört üçgen 7 × 7’lik bir karenin içine yerleştirildiğinde ortadaki eğik karenin alanı 49 − 4 · 6 = 25 birimkare çıkar. Bu, hipotenüsün 5 birim olduğunu gösterir. İspatta kullanılan (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliği de 8. sınıfın cebirsel ifadeler konusundandır.
Pisagor kimdir?
Pisagor (Pythagoras), MÖ 6. yüzyılda yaşamış Antik Yunan filozofu ve matematikçisidir. Ege’de, Aydın kıyılarının karşısındaki Sisam (Samos) Adası’nda doğdu; daha sonra Güney İtalya’daki Kroton’da öğrencileriyle bir topluluk kurdu. Kendisinden günümüze yazılı bir eser kalmadığı için ona atfedilen buluşların bir kısmının öğrencilerine ait olabileceği düşünülür.
Teorem onun adıyla anılsa da bağıntı daha eskidir: Pisagor’dan bin yılı aşkın süre önce yazılmış Babil kil tabletlerinde Pisagor üçlüleriyle ilgili sayı listeleri bulunur. Teoremin bilinen klasik ispatlarından biri Öklid’in Elemanlar adlı eserinde (1. kitap, 47. önerme) yer alır.
Pisagor sorularında sık yapılan hatalar
- Kenarları doğrudan toplamak. Dik kenarları 3 ve 4 olan üçgenin hipotenüsü √(9 + 16) = √25 = 5’tir, 3 + 4 = 7 değil. Karekök toplamın üzerine dağılmaz: √(9 + 16) ≠ √9 + √16.
- Dik kenar ararken kareleri toplamak. Hipotenüs verilmişse çıkarma yapılır.
- Hipotenüsü yanlış seçmek. Hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır. Şekilde yatay ya da en altta çizilen kenar hipotenüs olmayabilir.
- Dik olmayan üçgende kullanmak. Soruda dik açı işareti ya da “dik üçgen” bilgisi yoksa önce üçgenin dik olup olmadığını kontrol edin.
- Birimleri karıştırmak. Kenarlardan biri metre, diğeri santimetre verildiyse önce aynı birime çevirin.
Alıştırmalar (cevaplı)
- Dik kenarları 8 cm ve 15 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm’dir?
- Hipotenüsü 25 cm, bir dik kenarı 7 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç cm’dir?
- Kenarları 12 cm, 16 cm ve 21 cm olan üçgen dik üçgen midir?
- Kenarı 3 cm olan karenin köşegeni kaç cm’dir?
- K(1, 1) ve L(4, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevaplar:
- 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → √289 = 17 cm.
- 25² − 7² = 625 − 49 = 576 → √576 = 24 cm.
- 12² + 16² = 144 + 256 = 400 ve 21² = 441. 400 ≠ 441 olduğu için dik üçgen değildir.
- √(3² + 3²) = √18 = 3√2 cm (≈ 4,24 cm).
- Yatay fark 3, dikey fark 4 → √(9 + 16) = √25 = 5 birim.
LGS’de Pisagor bağıntısı çoğu zaman başka bir konuyla birlikte kullanılıyor. Örneğin 2026 sınavında bir dikdörtgenin köşegenini 12-16-20 üçlüsüyle bulmak bir benzerlik sorusunun ilk adımıydı; aynı sınavdaki tahterevalli sorusunda eğim, 5-12-13 üçlüsüyle hesaplanıyordu. Yıllara göre soru kitapçıkları ve konu dağılımı LGS matematik çıkmış sorular yazısında, 8. sınıfın bütün konuları 8. sınıf matematik konuları yazısında.
Sık sorulan sorular
Pisagor teoremi nedir?
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamının hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu söyler: a² + b² = c². Örneğin dik kenarları 3 ve 4 birim olan üçgende 9 + 16 = 25 olduğu için hipotenüs 5 birimdir.
Hipotenüs nasıl bulunur?
Dik kenarların kareleri toplanır ve toplamın karekökü alınır: c = √(a² + b²). Dik kenarları 5 ve 12 cm olan üçgende 25 + 144 = 169 ve √169 = 13 olduğu için hipotenüs 13 cm'dir. Bir dik kenar aranıyorsa hipotenüsün karesinden bilinen dik kenarın karesi çıkarılır.
Pisagor teoremi her üçgende geçerli mi?
Hayır, yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir. Kenar uzunlukları verilen bir üçgenin dik olup olmadığını anlamak için en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamıyla karşılaştırılır; eşitse üçgen dik üçgendir. Örneğin kenarları 9, 12 ve 15 olan üçgen dik üçgendir; kenarları 5, 6 ve 8 olan üçgen değildir.
Pisagor üçlüleri nelerdir?
a² + b² = c² eşitliğini sağlayan doğal sayı üçlüleridir. En çok kullanılanlar 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ve 7-24-25'tir. Bir Pisagor üçlüsünün bütün katları da Pisagor üçlüsüdür: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26 gibi.
Pisagor teoremi kaçıncı sınıf konusu?
Pisagor bağıntısı 2026-2027'de 8. sınıf matematik dersinin Üçgenler konusunda (2018 programı, M.8.3.1.5 kazanımı) işlenir. Ders saatlerine göre yaklaşık Nisan ayına denk gelir; okulun yıllık planına göre birkaç hafta değişebilir.